Por Manuel Gerardo Corona Galindo, investigador del INAOE.

Para entender un fenómeno social y, en este caso, de medicina --la evolución del COVID-19--, es necesario modelar, tomando en cuenta muchas variables e interacciones. En el proceso de aplicación del método científico, se van aislando, poco a poco, las variables esenciales del modelo hasta que se logra plasmar la evolución del sistema en estudio en una formulación matemática que dé cuenta de la relación que guardan las variables fundamentales. Para el caso que nos ocupa: entender las curvas de evolución de los contagios del COVID-19, se debe partir de las curvas experimentales presentadas por el Dr. Hugo López-Gatell Ramírez, Subsecretario de Prevención y Promoción de la Salud, en las conferencias vespertinas en Palacio Nacional. Él ha mencionado más de una vez que el fenómeno en estudio está gobernado por un comportamiento exponencial; pero ¿cuál es el significado de esta expresión? Esto lo explicaremos parcialmente en las siguientes líneas. Señalo “parcialmente” porque la explicación completa amerita espacio, análisis y conocimiento profundo del sistema en estudio.

Cuando un sistema tiene un comportamiento exponencial, debe entenderse que el fenómeno puede expresarse a través de una función exp (kt)1, en donde exp es la abreviación del nombre propio asignado a una función matemática denominada función exponencial. En el argumento de la función, (cantidades dentro del paréntesis) se encuentran k que puede ser una constante o una función del tiempo, en tanto que t es la variable temporal. Determinar la función k(t) no es un proceso sencillo y en eso deben estar trabajando especialistas, tales como médicos, físicos, químicos, biológicos, matemáticos y expertos en computación.

Aunque no se conoce la forma de esta función, se pueden hacer algunas inferencias interesantes, por ejemplo: si k(t) es positiva, entonces, la función exponencial crece rapidísimo cuando el tiempo, t, crece y se dice que el sistema es inestable. En caso contrario, si k(t) es negativa la función exponencial decrece muy rápido a medida que el tiempo crece y se tiene un sistema amortiguado, presentándose, a menudo, dos tipos de amortiguamiento (débil o fuerte); o bien, un comportamiento aperiódico2. Las curvas de expansión del COVID-9 describen, en efecto, el comportamiento de un fenómeno inestable, el cual se puede amortiguar cambiando la pendiente de crecimiento y para lograrlo se ha diseñado la Jornada Nacional de Sana Distancia (de aquí en adelante Susana Distancia, solamente). Cuando las curvas no tienen saltos ni picos, se dice, en lenguaje matemático, que la función es continua1. Esta propiedad, que nos será de utilidad más adelante, la tiene la función exponencial.

El mayor desafío del modelaje de este tipo de fenómenos radica en la determinación de la función k(t) y en su determinación deben estar trabajando, seguramente y desde enero, los especialistas. Por ello, no tocaré ese punto, sino, soportado en el bagaje físico y matemático previamente construido, el objetivo de este documento es contribuir al entendimiento del comportamiento de propagación del COVID-19 y justificar, desde el punto de vista físico, la medida de Susana Distancia. Primeramente, asumamos que k es una constante positiva, considerando que en las gráficas que se han presentado, el tiempo está medido en días y, debido a que el argumento de la función exponencial, esto es, kt debe ser adimensional (sin dimensiones), se infiere de inmediato que las dimensiones de k deben ser 1/ día para que el producto kt sea adimensional. A una cantidad que se mide como el inverso del tiempo, se le denomina en física frecuencia y, para el caso que nos ocupa es la frecuencia con que se dan los contagios; o bien ocurren las muertes de los enfermos por COVID-19, dependiendo de la perspectiva que se escoja para examinar el fenómeno.

Al conjunto de contagios y muertes lo denominaremos sistema de estudio y su análisis, se puede considerar desde dos perspectivas: considerando las muertes solamente, o desde la ocurrencia de los contagios; naturalmente, ambas son complementarias; pero es necesario imponer restricciones para poder estudiarlo completo. El axioma restrictivo es que, en efecto, el COVID-19 puede causar decesos; adicionalmente, las muertes por considerar en el sistema, son única y exclusivamente aquellas que se deban al COVID-19; esto es, la relación muerte-infección, ocasionada por dicho virus debe ser biunívoca; de lo contario, se pierde el control del sistema y el comportamiento de la gráfica de eventos se muestra discontinua.

Otro aspecto del problema que estamos analizando es que es un sistema caótico y, por múltiples razones, también azaroso. Ante este escenario, ¿qué conviene hacer para que el sistema no se salga de control? La respuesta es rarificar el sistema, disminuyendo el camino libre medio de las interacciones (saliva, saludos, besos y abrazos) entre los constituyentes del sistema con el objeto de amainar la infección. Si los adultos mayores, estudiantes de todos los niveles, mujeres embarazadas y demás personas señaladas por los representantes de la Secretaría de Salud se recluyen en casa, el camino libre medio entre las interacciones de las personas disminuye y, consecuentemente, también los contagios: Susana Distancia.

Con lo que se ha expuesto hasta ahora ya se pueden, además, responder algunas de las preguntas que los periodistas han formulado insistentemente a los médicos en las conferencias vespertinas; por ejemplo, ¿cuándo exactamente, se comenzará con la fase 2, primero; y, últimamente, cuándo con la tercera? En el entendido de que estamos frente a un problema azaroso, no determinista, no se puede conocer exactamente una hora de comienzo y otra de término de cada fase. El Dr. López-Gatell, dijo, en el momento que recibió la pregunta, cuando ya no se puedan diferenciar las trazas. Para contestar la pregunta, él vio, seguramente, el sistema desde la perspectiva de los contagios (cerca de 400, cuando recién contábamos con esa cantidad); por eso, el martes siguiente señaló “estamos en la fase 2”, porque seguir las trazas de 400 personas, con las que tuvo interacción el contagiado, ya no es tan fácil. Empero, si se considera el sistema desde el número de decesos (4, ese día), obviamente, alguien puede argüir que sí puede seguir las trazas de estos cuatro y por consiguiente, afirmar que estábamos muy lejos de la fase 2. Cierto, es posible, sin embargo, no se hizo así porque lo que importa es detener los contagios; pues, si se eluden los contagios, se pueden evitar las muertes.

Otra pregunta que se formula a menudo es ¿qué significa aplanar la curva? refiriéndose a la comba de datos experimentales. Para contestarla, primeramente, busque el lector en su celular o computadora, utilizando Google, la calculadora científica y encontrará la función que he descrito en el segundo párrafo como ex. A continuación, escriba, por ejemplo, 5 en lugar de la x, esto es, calcule e5 y obtendrá 148.41. Entonces, la pregunta aludida, se puede parafrasear de otra manera, a saber: si nosotros queremos mantener durante una semana 148 infectados ¿cuál debe ser la frecuencia de infectados por día durante esos siete días? Partiendo de ln(148.41)=kt, se puede conocer k y los valores que obtenemos son: 5 contagios comunitarios en el primer día, 3 el segundo, 2 el tercer día y uno el cuarto, quinto, sexto y séptimo días. Estos números ayudan, además, a establecer rangos de variabilidad, por ejemplo, más menos uno por día, siempre y cuando no se sobrepasen los 148 por semana. Así pues, evitar que se desborde la aparición de contagios, más allá del intervalo establecido, es aplanar la curva.

Todavía en esta dirección, el miércoles 25 de marzo, en la conferencia de prensa vespertina, el Dr. López-Gatell, mencionó que se tenían 475 personas infectadas por COVID-19 y que, a partir del jueves 26 de marzo, los empleados de gobierno se retraían en casa. En el contexto del párrafo inmediato anterior, veamos cuál es la frecuencia de contagios permitidos durante una semana si queremos mantener 475 contagiados. Recurrimos a ln(475)=kt y encontramos que los contagios comunitarios permitidos para el jueves 26 de marzo son 6; para el viernes 27, 3; para el sábado 28, 2; domingo 29, 2; lunes 30, 1; martes 31, 1; miércoles primero de abril, uno. En suma, es un requerimiento extremadamente estricto, pero alcanzable siempre y cuando, con miras a disminuir el camino libre medio de la interacción, se queden muchos habitantes en casa, sobre todo, en la zona del valle de México y ciudades donde la densidad de población es mayor, metafóricamente hablando esto significa, pedirle a Susana Distancia que trabaje horas extra.

Otra pregunta que se formula a menudo es si no hay datos falsos en la información. Al respecto, hago la siguiente consideración: cuando surja un dato fuera del comportamiento normal de la curva, se manifestará como una discontinuidad, meritando una revisión inmediata del dato provisto. Hasta ahora no se ha presentado un dato con estas características en la curva experimental, al contario es suavemente continua.

Para terminar anotamos que hemos dejado de lado los juicios de valor; pues lo más importante es coadyuvar a aclarar los cuestionamientos al fenómeno que nos aqueja.

Coda: la intención del presente artículo es coadyuvar, a través de la física y las matemáticas, al entendimiento racional de las reglas dictadas por la Secretaria de Salud para enfrentar la pandemia que nos aqueja: el COVID-19. Entiéndase esto como un granito de arena a la construcción del andamiaje de seguridad social que todos tenemos que construir. Los conceptos que se han vertido han sido adecuaciones de conceptos físicos y matemáticos al análisis de una realidad social. Como nota adicional, acoto que el camino libre medio entre interacciones es inversamente proporcional a la densidad de componentes del sistema (partículas); por esta razón, si la densidad de personas por kilómetro cúbico disminuye, el mecanismo de interacción también disminuye y, en consecuencia, el camino libre medio para la interacción aumenta: Susana Distancia.

Manuel Gerardo Corona es titular B del Instituto Nacional de Astrofísica Óptica y Electrónica en Tonantzintla.

1. Moise, E. E. (1966), Calculus, Part l, Adison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts, Palo Alto - London – Don Mills, Ontario.

2. Kuypers, F. (1989), Klassische Mechanik, Zweite, bearbaitete und erweiterte Auflage, VCH.

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